これで解決！シリーズ　大学数学 - クーン・タッカーの必要条件

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クーン・タッカーの必要条件

ああん、クーン・タッカーって本当に分からないわ。ベクトルの記号が多すぎて、何を言ってるのかさっぱりなの。

ははは。大丈夫じゃよ。教科書などで書いてある定義とやらをまずみてみようじゃないか。ラプラシアンというものを定義して、その勾配がゼロとなるときがアヤシイっていうだけのことじゃが、ちょっと英語やら記号やらで身構えてしまいそうじゃな。

一つ一つの演算は出来るんだよ。勾配を計算したりとか、ベクトルの計算など。でも、なぜこんなものたちが急に出てきたかなんていうことがサッパリだよ。

ラプラシアンがなぜ急に出てきて、なぜそれの勾配がゼロとなるときが最小または最大になりうるのか、という根本的な疑問だね。でも心配いらないよ。実はね、真ん中に出てきている∇L=0という条件の式は、実はベクトルのつりあいの式なんだよ。

ベクトルのつりあいの式？∇L=0が？　高校で学んだ力学に出てきたような矢印のつりあいと似た様な状況を考えればいいのかしら。

そう。今回の授業は、ベクトル、つまり視覚的にいくつかの矢印のつりあいで考えて、直感的な理解をものにするのが目標じゃ。もちろん練習問題も一緒に解いていきながら意味を考えていくぞ。

よーし、じゃ、早速挑戦してみようっと！！

これこれ、ちょっと待ってくれ。実は、クーン・タッカーのこのムービーは、ラグランジュの未定乗数法の続きなんじゃよ。悪いことはいわん。ラグランジュの未定乗数法をまずマスターしてしまおう。ラグランジュの未定乗数法がバッチリになったら、下のムービーにトライしてみよう。

これで解決！クーン・タッカーの必要条件解説ムービー
(Windowsのみ)　所要時間：90分
クーン・タッカーの必要条件(Karusch-Kuhn-Tucker necessary conditions)とは、不等式を含んだ制約条件において、最大値や最小値が存在するための条件です。線形の問題を解くときには、シンプレックス法が有効ですが、非線形の場合にはクーン・タッカーの必要条件やラグランジュの未定乗数法を用いて解くことになります。

ラグランジュの未定乗数法では、以下のように、制約条件（subject to～の部分）が等式になっています。

一方、クーンタッカーの方法では、以下のように、制約条件は不等式です。

この問題は、ムービーで実際に取り上げられます。他にも、Farkas Lemmaや、十分条件についても学習します。まずは、ムービーを見ながら練習問題１を解いていきましょう。ムービーへはこちらをクリック！（要Flash Player）　第一章まで無料で楽しめます。

第一章までの無料のムービーはこちらへどうぞ。（音声はありません。）　全てをご覧頂くには、ご購入いただく必要があります。

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必須知識
本サイトの「偏微分」と同等の知識が必要です。ナブラなど、勾配を用いた考え方が必要です。

必須知識
本サイトの「ラグランジュの未定乗数法」をご覧頂いていることが必要です。

スクリーンショット　

取り上げる内容

・制約条件が一つの場合の考え方をまず復習します。
・次に制約条件が二つ以上の場合の考え方を考えていきます。
・クーンタッカーの必要条件に欠かせない条件をラグランジュ乗数法からみちびきます。
・例題を解いてみます。
・例題２は、すこしややこしい式なので、グラフを描いて解くことができません。クーン・タッカーの必要条件だけを見ながら解いていきます。
・例題２の式をグラフ化して、クーンタッカーを用いて解いた答えと比較して確かめます。
・クーンタッカーの必要条件だけでなく、十分条件についても考えていきます。